28 апреля 2005 г.
Современный компьютер обладает большими возможностями в применении разнообразных типов информации. Это и текст, и чертежи, и графика, и анимация, и видео изображения, и звук, и музыкальное сопровождение. Активное использование различных типов предъявления информации с учетом психологических особенностей ее переработки позволяет значительно повысить эффективность учебного процесса и обеспечить передачу знаний наравне, а иногда и гораздо успешнее, чем традиционные средства обучения. Интеграция звука, движения, образа и текста создает новую необыкновенно богатую по своим возможностям учебную среду, с развитием которой увеличится и степень вовлечения учащихся в процесс обучения.
Более того, тенденция к сокращению объема занятий ставит задачу существенного повышения информативности и эффективности каждого часа, отведённого на изучение предмета. Техническим средством решения этой задачи и новой формой подготовки и чтения лекций становятся компьютерные мультимедийные технологии. Однако, те предметные области, для изложения которых требуется серьезное программирование и программное моделирование различных процессов, пока что пользуются у разработчиков небольшой популярностью, поэтому практически не применяются подобные системы для обучения математике. Хотя в последнее время в нашей стране появилась особая группа программ (что не может не радовать!), постижение идеи языка и синтаксиса которых не вызывает особого труда. Освоить их очень быстро может практически любой ученик 8-11 класса средней школы и тем более студент вуза.. Например очень эффективным в этом отношении может быть использование такого универсального математического пакета, как Mathcad.
Несомненно, опытные преподаватели математики вспомнят, как тяжело даётся старшеклассникам изучение темы ”Исследование и построение графиков функций с помощью производной”. Ученики довольно быстро устают и теряют всякий интерес к данной схеме построения графиков. Кроме того, на завершающем этапе, когда необходимо получить наглядное представление функции, результат часто оказывается неверным из-за незначительной ошибки, совершённой в ходе исследования. Между тем использование системы Mathcad, позволит не только быстро и качественно усвоить все этапы реализации данного метода, но и значительно сэкономить время, которое так дорого ценится при современном темпе образования. Таке же проблемы появляются и у студентов.
На математическом факультете ЧГУ на пятом курсе читается курс по выбору: «Избранные главы элементарной математики», одной из тем которого является: «Решение уравнений методом отделяющих констант» [2, с.15]. На примере этой темы можно увидеть какую неоценимую помощь оказывет Mathcad при его использовании.
Для знакомства с этим методом дадим его краткое описание, а затем перейдем к решению уравнений. Чтобы картина реализации метода была более иллюстративной, рассмотрим два примера. При этом вниманию читателей наряду с аналитическим решением уравнений будет предложена и его графическая интерпретация в системе Mathcad.
Решение уравнений методом отделяющих констант. Пусть дано уравнение
,
где .
Очевидно, если и , то при всех из множества решений уравнение (*) равносильно системе , если хотя бы одно из неравенств строгое, то уравнение (*) не имеет решения.
Число C = const, ”отделяющее” значение функции от на множестве , называется отделяющей константой, а сам приём называется методом отделяющих констант.
Пример 1. Решить уравнение: ;
1) ;
2) ;
3)
Тогда
Ответ: .
Дадим графическое решение уравнения: , используя пакет Mathcad.
Mathcad является математическим редактором, позволяющим проводить разнообразные научные и инженерные расчеты, начиная от элементарной арифметики и заканчивая сложными реализациями численных методов (см. например [1]). Mathcad, в отличие от большинства других современных математических приложений, построен в соответствии с принципом WYSIWYG (”What You See Is What You Get” — ”что Вы видите, то и получите”). Достаточно просто вводить математические выражения с помощью встроенного редактора формул, причем в виде, максимально приближенном к общепринятому, и тут же получать результат. Для эффективной работы с редактором Mathcad достаточно базовых навыков пользователя.
В Mathcad встроено несколько различных типов графиков. Все графики создаются совершенно одинаково, с помощью панели инструментов Graph (График), различия обусловлены отображаемыми данными. (Проиллюстрируем)Остановимся на примере создания графиков самого распространённого типа - ”XY (декартовый) график (XY Plot)”.
Замечание. Некорректное определение данных приводит, вместо построения графика, к выдаче сообщения об ошибке.
Чтобы создать график, например двумерный Декартов:
· Поместите курсор ввода в то место документа, куда требуется вставить график.
· Если на экране нет панели Graph (График), вызовите ее нажатием кнопки с изображением графиков на панели Math (Математика).
· Нажмите на панели Graph (График) кнопку X-Y Plot для создания Декартового графика (рис.1) или другую кнопку для иного желаемого типа графика.
· В результате в обозначенном месте документа появится пустая область графика с одним или несколькими местозаполкителями (рис. 1, слева). Введите в местозаполнители имена переменных или функций, которые должны быть изображены на графике. (В нашем примере это: а затем после запятой следующая функция: и внизу указывается переменная ).
Рис. 1. Создание Декартового графика при помощи панели Graph
Если имена данных введены правильно, на экране появятся два графика исходных функций. Созданные графики можно изменить, в том числе меняя сами данные, форматируя их внешний вид или добавляя дополнительные элементы оформления.
Чтобы удалить график, щелкните в его пределах и выберите в верхнем меню Edit (Правка) пункт Cut (Вырезать) или Delete (Удалить).
Замечание: Обратите внимание, что Mathcad автоматически определяет границы графика, но можно изменить и установить необходимый диапазон значений для данного конкретного примера.
Используя графический метод, легко можно убедиться, что полученное нами аналитическое решение действительно верно: прямая отделяет график функции от , поэтому число 2 является отделяющей константой, а абсциссы точки пересечения графиков исходных функций - искомые решения уравнения.
При помощи системы Mathcad можно произвести подобную проверку всего лишь за 1-2 минуты. В то время как наглядное построение графиков на бумаге заняло бы не меньше часа, и было бы весьма затруднительно, так как уравнение сочетает в себе логарифмическую функцию, которая в свою очередь содержит модуль тригонометрической функции , а в правой части стоит третий вид функций - .
Рассмотрим другой пример.
Пример 2. Решить уравнение: ;
Проведя оценку для метода отделяющих констант, имеем
1) ; 2) ;
Подобная оценка функций и даёт все основания предполагать, что уравнение не имеет решений. Убедимся в этом, построив графики в Mathcad:
На рисунке ясно видно, что функции не пересекаются ни в одной точке, а, следовательно, уравнение не имеет решений и аналитический способ решения оказался верным.
Надеемся, что читатели оценили ту простоту, с которой решаются задачи в этой действительно великолепной и простой системе аналитических вычислений. Но это лишь малая доля того, на что способен современный математический пакет Mathcad.
Замечание. По данной теме студентами были проиллюстрированы аналитические решения все задач этого метода и некоторые задачи других методов, что показывает несомненную полезность изучения. Здесь напрашивается математического пакета Mathcad.
Литература:
1. Электронный учебник: CD-диск ”Mathcad 11 Enterprise Edition”.
2. Чучаев И.И. Нестандартные (функциональные) приемы решения уравнений: Учеб. пособ. – Саранск: Изд-во Морд. Ун-та,2001.– 168 с.